🦨 Pascal Özdeşliği Ve Pascal Üçgeni

PascalÜçgeni ve Binom Açılımı. Hintli matematikçiler ona Meru Dağı’nın merdivenleri der. İran’da Hayyam Üçgeni olarak bilinir. Çin’de ise Yang Hui’nin Üçgeni adı verilir. Batı dünyası da onu genelde Pascal Üçgeni olarak tanır. Binom Açılımı. Bilinen özdeşlikler vardır bunlar; (x + y) 1 = x + y PascalÜçgeni. Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.Pascal üçgeni denilse de asıl bulan kişi Ömer Hayyam 'dır. 1 Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.) Pascalüçgeni, ilk bakışta güzelce düzenlenmiş sayılardan ibaret gibi görünür. Ama aslında matematiksel bir hazinedir. Peki neden dünyanın her yanndaki matematikçileri bu kadar etkiliyor? Wajdi Mohamed Ratemi, Pascal üçgenindeki şablonları ve sırları anlatıyor. Ders: Wajdi Mohamed Ratemi, animasyon: Henrik Malmgren. Fransız matematikçi Blaise Pascal 'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.Pascal üçgeni denilse de asıl bulan kişi Ömer Hayyam 'dır. Pascal Üçgeninin Özellikleri 1)Pascal üçgeninde her satırın başında ve sonunda 1 sayısı yer alır. Pascalüçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulunur. Blaise Pascal, Fransız matematikçi ve filozof. 19 Haziran1623 ‘te dünyaya geldi, 19 Ağustos1662 ‘de yaşamını kaybetti. Pascal, halen küçük yaşta kendisini gösteren dehalardandır. Henüz 12 yaşındayken, hiç geometri bilgisine sahip olmadığı halde, daireler ve eşkenar üçgenler çizmeye başlamış, bir üçgenin iç 10. SINIF 1. MODÜL SAYMA VE OLASILIK www.aydinyayinlari.com.tr BİNOM AÇILIMI İlişkili Kazanımlar : Pascal üçgenini açıklar 10.1.1.6 : Binom açılımını yapar. Pascal Üçgeni Örneğin 4. satırı ele aldığımızda BİLGİ A = { a, b, c } kümesi için s( A ) = 3 olur. • x, y ! R - {0} ve n ! Pascal üçgeni, binom açılımında yer alan bütün BİST 2.502 2.06 EURO 17.99 1.57 USD 17.53 0.56 ALTIN 966.99 0.78. Pascal Üçgeni Nasıl Oluşturulur ve Özellikleri Nelerdir? Dev Küp Kutu Açılımı/ Gan356R, Mf2s, Qiyi 2x2x3, Yj Fisher mirror ve daha fazlası nı gösterdim. videoyu beğenmöeyi ve kanala abone olmayı unumayın. Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı ve Örnek Soru Çözümü – Kunduz. Kare Açılımı | Not Bu. Kare prizmanın açılımı – E okul Giriş. 21.09.2014 · Küpün Açılımı. PascalÜçgeni. Pascal Üçgeni ilk satırda bir kutu olmak üzere, her satırda bir üst satırdakinden bir fazla kutu içeren ve kutuların içindeki sayıların belirli bir kurala göre belirlendiği bir üçgendir. Pascal üçgenini oluşturmak için her satırın ilk ve son kutularına 1 yazılır. Üçgenin içindeki kutulara da üst permütasyonlarve kombinasyonlar, binom katsayıları, Pascal özdeşliği ve üçgeni; genelleştirilmiş permütasyonlar ve kombinasyonlar. Çizgeler: temel terminoloji, el sıkışma teoremi, tam çizgeler, iki kümeli çizgeler, çizge gösterimi ve çizge eşyapılılığı, Euler ve Hamilton yolları ve çizgeleri. Ağaçlar: nHtNhh. Pascal Üçgeni nedir ve özellikleri?En dikkat çekici sayı modellerinden biri de Pascal üçgenidir. Pascal üçgeni, aşağıda bulunan sayıyı elde etmek için yukarıdaki iki sayıyı toplama kuralını izleyen, hiç bitmeyen bir eşkenar üçgendir. İki kenarı her zaman birdir. Üçgen sonsuza kadar devam eder yani istendiği kadar Üçgeni nedir ne işe yarar?Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. … Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler Üçgeni ve binom açılımı nedir kısaca?Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri x+yn. Örneğin n=2 olduğu zaman binom açılımı katsayıları 1, 2 ve 1 olur. … Bu x+y2 = x2 + 2xy + y2 anlamına eşitliği nedir?Pascal Özdeşliği Pascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. … nr + nr+1 = n+1r+1 eşitliğine Pascal özdeşliği açılımı ilk kim buldu?Hayyam doğum tarihi konusunu araştırmış ve tam tarihi ortaya koymuştur. Matematik anlamında, binom açılımını da bulmuştur. binom teoerimini ve bu açılımdaki katsayıları bulan ilk kişi olduğu düşünülmektedir. Pascal üçgeni diye bildiğimiz şey aslında bir Hayyam üçgenidir .Üçgeni ilk kim buldu?İlk yazılı ispat Euclides'e aittir. 33 PASCAL ÜÇGENİ Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından birimi nedir?Pascal paskal, metrik sistemin basınç birimidir. Adını Fransız bilim insanı Blaise Pascal'dan alır. Çok kullanılan çoklu birimle hectopascal 1 hPa ≡ 100 Pa, kilopascal 1 kPa ≡ 1000 Pa ve megapascal 1 MPa ≡ Pa'dır. Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri x+y işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri x+yn. Genellikle bu ifadedeki x ve y herhangi iki sayı, n ise bir tam sayıdır. Bu ifadenin eşitini bulmanın en basit yolu n tane x+y terimini birbiriyle çarpmaktır. Fakat n'nin büyük olduğu durumlarda bu işlemi yapmak çok uzun sürer. Binom açılımı olarak bilinen bir yöntem ile bu ifadenin eşiti çok daha kolay bir şekilde bulunabilir. İfadenin eşiti açık olarak yazıldığı zaman bütün terimler a+b=n olmak üzere, xayb şeklinde olacaktır. Bu terimlerin katsayılarına binom katsayıları denir. Genel olarak binom açılımı şu şekilde ifade edilebilir Bu ifadedeki katsayıların değeri ! faktöriyel işlemi olmak üzere, şöyle bulunabilir Örneğin n=2 olduğu zaman binom açılımı katsayıları 1, 2 ve 1 olur. Bu x+y2 = x2 + 2xy + y2 anlamına gelir. n küçük olduğu zaman ifadenin eşitini bulmak için terimleri birbiriyle çarpmak da pratik bir yol olabilir, fakat n büyük olduğu zaman binom açılımını kullanmak çok daha kolaydır. Üstelik binom katsayılarını hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanmaktan çok daha pratik bir yol var. Öncelikle birinci ve sonuncu katsayıların her zaman 1 olduğuna dikkat edin. Şimdi, yan kenarları alt alta yazılmış 1'lerden oluşan bir üçgen yapın bkz. alttaki şekil. Daha sonra her satırda yan yana bulunan iki sayının altındaki satıra ve sayıların ortasına bu sayıların toplamını yazın. Örneğin ikinci satırda iki tane 1 yan yana durduğu ve iki tane 1'in toplamı 2 olduğu için üçüncü satırın ortasına 2 yazın. Benzer şekilde, yukarıdan aşağıya doğru giderek üçgenin içini doldurmaya devam edin. Bu üçgenin her bir satırındaki sayıları incelediğiniz zaman sırasıyla belirli bir n değerine karşılık gelen tüm binom sayılarını bulacaksınız. Örneğin ikinci satırdaki 1, 1 sayıları n=1'e karşılık gelen katsayılar, dördüncü satırdaki 1, 3, 3, 1 sayıları ise n=3'e karşılık gelen katsayılardır. Pascal üçgeni olarak adlandırılan bu üçgeni kullanarak tüm binom katsayıları hesaplanabilir. Böylece binom açılımı yapmak çok kolaylaşır. Pascal üçgeninin pek çok ilginç özelliği var. Bunlardan biri Pascal üçgeninin simetrik olmasıdır. Üçgenin ortasına dikey bir simetri ekseni çizerseniz, bu simetriyi kolayca görebilirsiniz. Örneğin beşinci satırdaki 4'ler, altıncı satırdaki 10'lar ve yedinci satırdaki 15'ler bu eksene göre simetriktir. Pascal üçgeninin diğer bir özelliği satırlarındaki sayıların toplamının 2'nin kuvvetlerini vermesidir. Bunun doğruluğunu binom açılımında x ve y yerine 1 koyarak görebilirsiniz. Ayrıca satırlardaki sayıları yan yana tek bir sayı gibi okursanız 11'in kuvvetlerini bulursunuz. Bunun doğruluğu ise binom açılımında x=1, y=10 yazılarak görülebilir. Örneğin üçüncü satırdaki 1, 2, 1 sayıları bir araya getirildiğinde 11'in ikinci kuvveti olan 121 sayısını verir. Dördüncü satırdaki sayıların bir araya getirilmesi ile elde edilen 1331 sayısı ise 11'in üçüncü kuvvetidir. Katsayıların tek basamaklı olmadığı durumlar ise biraz daha karmaşıktır, fakat bu durumlarda da ufak bir çaba ile 11'in kuvvetleri bulunabilir. Pascal üçgenini kullanarak Fibonacci sayıları da bulunabilir. Fibonacci serisi ilk iki terimi 1 olan bir seridir. Bu serinin elemanları olan Fibonacci sayıları ise kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir. Örneğin bu serinin ilk birkaç elemanı şunlardır 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Bu serideki 8 sayısı kendinden önceki iki sayının 3 ve 5 toplamıdır. Aynı şekilde 34 sayısı da 13'ün ve 21'in toplamıdır. Pascal üçgeninden aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi diyagonal parçalar alırsanız, her parçadaki sayıların toplamının Fibonacci sayılarını verdiğini göreceksiniz. Pascal üçgeninde bulunabilecek diğer sayılar üçgen sayılarıdır. Sadece noktalar kullanarak üçgen şekilleri yapmaya çalıştığınızı düşünün. Önce üçgenin tepesi için bir nokta, sonra bu noktanın altına üçgen oluşturacak şekilde iki nokta, daha sonra bu noktaların altına üç nokta, ... Her bir üçgeni yapmak için kullandığınız noktaların sayısı üçgen büyüdükçe 1, 3, 6, 10,... olarak devam eder. Bu sayıları Pascal üçgeninin ikinci iç diyagonalinde bulabilirsiniz. Bir başka özellik Mersenne sayıları ile ilgilidir. 1'den ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denir. Mersenne sayıları ise n bir tam sayı olmak üzere, 2n-1'e eşit olan sayılardır ve n bir asal sayı olduğu zaman bu sayılar da birer asal sayı olur. Örneğin bir asal sayı olan 3'e karşılık gelen Mersenne sayısı 23-1=7'dir. Benzer şekilde 5'e karşılık gelen Mersenne sayısı 25-1=31'dir. Pascal üçgenini herhangi bir satırdan böler ve yukarıda kalan üçgendeki tüm sayıları toplarsanız Mersenne sayılarını verdiğini göreceksiniz. Pascal üçgeninin yukarıda anlatılan tüm özellikleri ve daha başkaları binom katsayılarının değerleri kullanılarak ispatlanabilir. Siz de yukarıda saydığımız özellikleri kendiniz ispatlamaya çalışabilirsiniz. Pascal üçgeni ile ilgili ilginç başka özelliklere ise aşağıdaki bağlantı adresini kullanarak ulaşabilirsiniz. Bilim Genç web sitesinde yayınlanan yazı, haber, video, fotoğraf, çizim ve animasyonların her türlü hakkı TÜBİTAK’a aittir. İzin alınmadan, kaynak gösterilerek dahi olsa alıntı yapılamaz, kopyalanamaz ve başka yerde yayınlanamaz.

pascal özdeşliği ve pascal üçgeni